Принцип возможных перемещений примеры решения. Расчет реакции опоры по принципу возможных перемещений

1. Обобщённые координаты и число степеней свободы.

При движении механической системы, все её точки не могут перемещаться произвольно, так как они ограничены связями. Это значит, что не все координаты точек независимы. Положение точек определяется заданием только независимых координат.

обобщёнными координатами. Для голономных систем (т.е. таких, связи которых выражаются уравнениями, зависящими только от координат) число независимых обобщённых координат механической системыравно числу степеней свободы этой системы.

Примеры:

Положение всех точек однозначно определяется углом поворота

кривошипа.

Одна степень свободы.

2. Положение свободной точки в пространстве определяется тремя координатами, независимыми друг от друга. Поэтому три степени свободы.

3. Твёрдое вращающееся тело, положение определяется углом поворота j. Одна степень свободы.

4. Свободное твёрдое тело, движение которого определяется шестью уравнениями - шесть степеней свободы.

2. Возможные перемещения механической системы.

Идеальные связи.

Возможными перемещениями называются воображаемые бесконечно малые перемещения, допускаемые в данный момент наложенными на систему связями. Возможные перемещения точек механической системы рассматриваются как величины первого порядка малости, поэтому криволинейные перемещения точек заменяют прямолинейными отрезками, отложенными по касательной к траекториям движения точек и обозначаются dS .

dS A = dj . OA

Все силы, действующие на материальную точку, делятся на задаваемые и реакции связей.

Если сумма работ реакций связей на любом возможном перемещении системы равна нулю, то такие связи называются идеальными.

3. Принцип возможных перемещений.

Для равновесия механической системы с идеальными связями необходимо и достаточно, чтобы сумма элементарных работ всех действующих на неё активных сил при любом возможном перемещении системы была равна нулю.

Значение принципа возможных перемещений:

1. Учитываются только активные силы.

2. Даёт в общей форме условие равновесия для любой механической системы, тогда, как в статике необходимо рассматривать равновесие каждого тела системы в отдельности.

Задача.

Для заданного положения кривошипно-ползунного механизма при равновесии, найти зависимость между моментом и силой, если ОА = ℓ .

Общее уравнение динамики.

Принцип возможных перемещений даёт общий метод решения задач статики. С другой стороны, принцип Даламбера позволяет использовать методы статики для решения задач динамики. Следовательно, применяя эти два принципа одновременно, можно получить общий метод решения задач динамики.

Рассмотрим механическую систему, на которую наложены идеальные связи. Если ко всем точкам системы, кроме действующих на них активных сил и реакций связей , прибавить соответствующие силы инерции , то согласно принципу Даламбера полученная система сил будет находиться в равновесии. Применяя принцип возможных перемещений, получим:

Так как связи идеальные, то:

Это равенство представляет общее уравнение динамики.

Из него вытекает принцип Даламбера-Лагранжа – при движении системы с идеальными связями в каждый момент времени сумма элементарных работ всех приложенных активных сил и всех сил инерции на любом возможном перемещении системы будет равна нулю.

Задача.

В подъёмнике к шестерне 2 веса 2G c радиусом R 2 =R приложен вращающий момент М=4GR .

Определить ускорение поднимаемого груза А весом G , пренебрегая весом верёвки и трением в осях. Барабан, на который наматывается верёвка, и жёстко скреплённая с ним шестерня 1 , имеют общий вес 4G и радиус инерции r = R . Радиус барабана R A = R и шестерни 1

R 1 =0,5R .

Изобразим все действующие силы, направление ускорений и возможные перемещения.

________________

Подставим в общее уравнение динамики

Выразим перемещение через угол поворота δφ 1

Подставим значения

δφ 1 ≠0

Выразим все ускорения через искомое а А и приравняем выражение в скобках к нулю

Подставим значения

Принцип возможных перемещений.

а = 0,15 м

b = 2а = 0,3 м

m = 1,2 Нм _________________

х В; у В; N A ; M p

Решение: Найдём реакцию подвижной опоры А для чего мысленно отбросим эту связь, заменив её действие реакцией N A

Возможным перемещением стержня АС является его поворот вокруг шарнира С на угол dj . Стержень ВС остаётся неподвижным.

Составим уравнение работ, учитывая, что работа сил при повороте тела равна произведению момента силы относительно центра вращения на угол поворота тела.

Для определения реакций жёсткого закрепления в опоре В сначала найдём момент реакции М р . Для этого отбросим связь, препятствующую повороту стержня ВС , заменив жёсткое закрепление шарнирно-неподвижной опорой и приложив момент М р .

Сообщим стержню возможный поворот на угол dj 1 .

Составим уравнение работ для стержня ВС :

Определим перемещения:

Для определения вертикальной составляющей реакции жёского закрепления отбросим связь, препятствующую вертикальному перемещению точки В , заменив жёсткое закрепление скользящей (невозможен поворот) и приложив реакцию :

Сообщим левой части (стержню ВС с ползуном В ) возможную скорость V B поступательного движения вниз. Стержень АС повернётся вокруг точки А.

Составим уравнение работ:

Для определения горизонтальной составляющей реакции жёсткого закрепления отбросим связь, препятствующую горизонтальному перемещению точки В заменив жёсткую заделку скользящей и приложив реакцию :

Сообщим левой части (ползуну В вместе со стержнем ВС ) возможную скорость V B поступательного движения влево. Так как опора А на катках, то и правая часть будет перемещаться поступательно с той же скоростью. Следовательно .

Составим уравнение работ для всей конструкции.

Для проверки правильности решения составим уравнения равновесия всей системы:

Условие выполнено.

Ответ: y B = -14,2 H; X B = -28,4 H; N A = 14,2 H; V P =3,33 Hм.

Обобщённые скорости. Обобщённые силы.

Независимые величины, однозначно определяющие положение всех точек механической системы, называются обобщёнными координатами. – q

Если система имеет S степеней свободы, то её положение будет определяться S обобщёнными координатами:

q 1 ; q 2 ; …; q s .

Поскольку обобщённые координаты между собой независимы, то элементарные приращения этих координат будут также независимы:

dq 1 ; dq 2 ; …; dq S .

При этом каждая из величин dq 1 ; dq 2 ; …; dq S определяет соответствующее, независимое от других возможное перемещение системы.

При движении системы её обобщённые координаты будут с течением времени непрерывно изменяться, закон этого движения определяется уравнениями:

, …. ,

Это уравнения движения системы в обощённых координатах.

Производные от обобщённых координат по времени называются обобщёнными скоростями системы:

Размерность зависит от размерности q .

Рассмотрим механическую систему, состоящую из n материальных точек, на которые действуют силы F 1 , F 2 , F n . Пусть система имеет S степеней свободы и её положение определяется обобщёнными координатами q 1 ; q 2 ; q 3 . Сообщим системе возможное перемещение, при котором координата q 1 получает приращение dq 1 , а остальные координаты не изменяются. Тогда радиус-вектор к-той точки получает элементарное приращение (dr k) 1 . Это приращение, которое получает радиус-вектор при изменении только координаты q 1 на величину dq 1 . Остальные координаты остаются неизменными. Поэтому (dr k) 1 вычисляется как частный дифференциал:

Вычислим элементарную работу всех приложенных сил:

Вынесем за скобки dq 1 , получим:

где - обобщённая сила.

Итак, обобщённая сила – это коэффициент при приращениях обобщённой координаты.

Вычисление обобщённых сил сводится к вычислению возможной элементарной работы.

Если меняются все q , то:

Согласно принципа возможных перемещений, для равновесия системы необходимо и достаточно, чтобы SdА а к = 0 . В обобщённых координатах Q 1 . dq 1 + Q 2 . dq 2 + … + Q s . dq s = 0 следовательно, для равновесия системы необходимо и достаточно, чтобы обобщённые силы, соответствующие выбранным для системы возможным перемещениям, а значит и обобщённым координатам, были равны нулю.

Q 1 = 0; Q 2 = 0; … Q s = 0.

Уравнения Лагранжа.

Используя общее уравнение динамики для механической системы, можно найти уравнения движения механической системы.

4) определить кинетическую энергию системы, выразить эту энергию через обобщённые скорости и обобщённые координаты;

5) найти соответствующие частные производные от Т по и и подставить все значения в уравнение.

Теория удара.

Движение тела под действием обычных сил характеризуется непрерывным изменением модулей и направлений скоростей этого тела. Однако встречаются случаи, когда скорости точек тела, а следовательно и количество движения твёрдого тела за очень маленький промежуток времени получают конечные изменения.

Явление, при котором за ничтожно малый промежуток времени скорости точек тела изменяются на конечную величину, называется ударом.

Силы, при действии которых происходит удар, называются ударными.

Малый промежуток времени t , в течение которого происходит удар, называется временем удара.

Так как ударные силы очень велики и за время удара изменяются в значительных пределах, то в теории удара в качестве меры взаимодействия тел рассматривают не сами ударные силы, а их импульсы.

Импульсы неударных сил за время t будут величинами очень малыми и ими можно пренебречь.

Теорема об изменении количества движения точки при ударе:

где v – скорость точки в начале удара,

u – скорость точки в конце удара.

Основное уравнение теории удара.

Перемещение точек за очень малый промежуток времени, то есть за время удара, будут также малы, а следовательно, будем считать тело неподвижным.

Итак, можно сделать следующие выводы о действии ударных сил:

1) действием неударных сил за время удара можно пренебречь;

2) перемещениями точек тела за время удара можно пренебречь и считать тело во время удара неподвижным;

Устанавливающий общее условие равновесия механической системы . Согласно этому принципу, для равновесия механической системы с идеальными связями необходимо и достаточно, чтобы сумма виртуальных работ $A\_i$ только активных сил на любом возможном перемещении системы была равна нулю (если система приведена в это положение с нулевыми скоростями).

Количество линейно независимых уравнений равновесия, которые можно составить для механической системы, исходя из принципа возможных перемещений, равно количеству степеней свободы этой механической системы.

Возможными перемещениями несвободной механической системы называются воображаемые бесконечно малые перемещения, допускаемые в данный момент наложенными на систему связями (при этом время, входящее явно в уравнения нестационарных связей, считается зафиксированным). Проекции возможных перемещений на декартовы координатные оси называются вариациями декартовых координат.

Виртуальными перемещениями называются бесконечно малые перемещения, допускаемые связями, при "замороженном времени". Т.е. они отличаются от возможных перемещений, только когда связи реономны (явно зависят от времени).

Если, например, на систему наложено $l$ голономных реономных связей:

$f\_\{\backslash alpha\}(\backslash vec\; r,\; t)\; =\; 0,\; \backslash quad\; \backslash alpha\; =\; \backslash overline\{1,l\}$

То возможные перемещения $\backslash Delta\; \backslash vec\; r$ - это те, которые удовлетворяют

$\backslash sum\_\{i=1\}^\{N\}\; \backslash frac\{\backslash partial\; f\_\{\backslash alpha\}\}\{\backslash partial\; \backslash vec\{r\}\}\; \backslash cdot\; \backslash Delta\; \backslash vec\{r\}\; +\; \backslash frac\{\backslash partial\; f\_\{\backslash alpha\}\}\{\backslash partial\; t\}\; \backslash Delta\; t\; =\; 0,\; \backslash quad\; \backslash alpha\; =\; \backslash overline\{1,l\}$

А виртуальные $\backslash delta\; \backslash vec\; r$:

$\backslash sum\_\{i=1\}^\{N\}\; \backslash frac\{\backslash partial\; f\_\{\backslash alpha\}\}\{\backslash partial\; \backslash vec\{r\}\}\backslash delta\; \backslash vec\{r\}\; =\; 0,\; \backslash quad\; \backslash alpha\; =\; \backslash overline\{1,l\}$

Виртуальные перемещения, вообще говоря, не имеют отношения к процессу движения системы - они вводятся лишь для того, чтобы выявить существующие в системе соотношения сил и получить условия равновесия. Малость же перемещений нужна для того, чтобы можно было считать реакции идеальных связей неизменными.

Напишите отзыв о статье "Принцип возможных перемещений"

Литература

• Бухгольц Н. Н. Основной курс теоретической механики. Ч. 1. 10-е изд. - Спб.: Лань, 2009. - 480 с. - ISBN 978-5-8114-0926-6 .
• Тарг С. М. Краткий курс теоретической механики: Учебник для вузов. 18-е изд. - М .: Высшая школа, 2010. - 416 с. - ISBN 978-5-06-006193-2 .
• Маркеев А. П. Теоретическая механика: учебник для университетов. - Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотичная динамика", 2001. - 592 с. - ISBN 5-93972-088-9 .

Отрывок, характеризующий Принцип возможных перемещений

– Nous у voila, [В этом то и дело.] отчего же ты прежде ничего не сказала мне?
– В мозаиковом портфеле, который он держит под подушкой. Теперь я знаю, – сказала княжна, не отвечая. – Да, ежели есть за мной грех, большой грех, то это ненависть к этой мерзавке, – почти прокричала княжна, совершенно изменившись. – И зачем она втирается сюда? Но я ей выскажу всё, всё. Придет время!

В то время как такие разговоры происходили в приемной и в княжниной комнатах, карета с Пьером (за которым было послано) и с Анной Михайловной (которая нашла нужным ехать с ним) въезжала во двор графа Безухого. Когда колеса кареты мягко зазвучали по соломе, настланной под окнами, Анна Михайловна, обратившись к своему спутнику с утешительными словами, убедилась в том, что он спит в углу кареты, и разбудила его. Очнувшись, Пьер за Анною Михайловной вышел из кареты и тут только подумал о том свидании с умирающим отцом, которое его ожидало. Он заметил, что они подъехали не к парадному, а к заднему подъезду. В то время как он сходил с подножки, два человека в мещанской одежде торопливо отбежали от подъезда в тень стены. Приостановившись, Пьер разглядел в тени дома с обеих сторон еще несколько таких же людей. Но ни Анна Михайловна, ни лакей, ни кучер, которые не могли не видеть этих людей, не обратили на них внимания. Стало быть, это так нужно, решил сам с собой Пьер и прошел за Анною Михайловной. Анна Михайловна поспешными шагами шла вверх по слабо освещенной узкой каменной лестнице, подзывая отстававшего за ней Пьера, который, хотя и не понимал, для чего ему надо было вообще итти к графу, и еще меньше, зачем ему надо было итти по задней лестнице, но, судя по уверенности и поспешности Анны Михайловны, решил про себя, что это было необходимо нужно. На половине лестницы чуть не сбили их с ног какие то люди с ведрами, которые, стуча сапогами, сбегали им навстречу. Люди эти прижались к стене, чтобы пропустить Пьера с Анной Михайловной, и не показали ни малейшего удивления при виде их.
– Здесь на половину княжен? – спросила Анна Михайловна одного из них…
– Здесь, – отвечал лакей смелым, громким голосом, как будто теперь всё уже было можно, – дверь налево, матушка.
– Может быть, граф не звал меня, – сказал Пьер в то время, как он вышел на площадку, – я пошел бы к себе.
Анна Михайловна остановилась, чтобы поровняться с Пьером.
– Ah, mon ami! – сказала она с тем же жестом, как утром с сыном, дотрогиваясь до его руки: – croyez, que je souffre autant, que vous, mais soyez homme. [Поверьте, я страдаю не меньше вас, но будьте мужчиной.]
– Право, я пойду? – спросил Пьер, ласково чрез очки глядя на Анну Михайловну.

Как известно из курса теоретической механики, усло­вие равновесия объекта может иметь силовую или энерге­тическую формулировку. Первый вариант представляет со­бой условие равенства нулю главного вектора и главного момента всех сил и реакций, действующих на тело. Вто­рой подход (вариационный), называемый принципом воз­можных перемещений, оказался весьма полезен для реше­ния ряда задач строительной механики.

Для системы абсолютно жесткихтел принцип возможных перемещений формулируется так: если система абсолютно жестких тел находится в равнове­сии, то сумма работ всех внешних сил на любом возможном бесконечно малом перемещении равна нулю. Возмож­ным (или виртуальным) называют перемещение, которое не нарушает кинематические связи и сплошность тел. Для системы на рис. 3.1 возможным является только поворот стержня относительно опоры. При повороте на произволь­ный малый угол силы и совершают работу Согласно принципу возможных переме­щений, если система находит­ся в равновесии, то должно быть . Подставляя сюда геометрические соотношения получим условие равнове­сия в силовой формулировке

Принцип возможных перемещений для упругихтел формулируется следующим образом: если система упру­гих тел находится в равновесии, то сумма работ всех внешних и внутренних сил на любом возможном бесконечно малом перемещении равна нулю. В основе этого прин­ципа лежит понятие о полной энергии упругой деформи­рованной системы П. Если нагружение конструкции про­исходит статически, то эта энергия равна работе, совер­шаемой внешними Uи внутренними Wсилами при переводе системы из деформированного состояния в исходное:

При указанном переводе внешние силы не меняют свое­го значения и совершают отрицательную работу U= -F . Внутренние силы при этом уменьшаются до нуля и совершают положительную работу, так как это силы сцепления частиц материала и направлены в сторону, противополож­ную внешней нагрузки:

где - удельная потенциальная энергия упругой деформации; V - объем тела. Для линейной системы , где . Согласно теореме Лагранжа-Дирихле состоянию устойчивого равновесия соответствует мини­мум полной потенциальной энергии упругой системы, т. е.

Последнее равенство полностью соответствует формули­ровке принципа возможных перемещений. Приращения энергий dUи dWмогут быть вычислены на любых возможных перемещениях (отклонениях) упругой системы от со­стояния равновесия. Для расчета конструкций, удовлетво­ряющих требованиям линейности, бесконечно малое возможное перемещение d можно заменить весьма малым конеч­ным перемещением , в качестве которого может быть выбрано любое деформированное состояние конструкции, созданное произвольно выбранной системой сил. С учетом этого полученное условие равновесия следует записать как

Работа внешних сил

Рассмотрим методику вычисления работы внешних сил на действительном и возможном перемещении. Стержне­вая система загружена силами и (рис. 3.2, а), которые действуют одновременно, и в любой момент времени отношение остается постоянным. Если считать обобщенной силой, то по значению в любой момент времени можно вычислить все остальные нагрузки (в данном случае ). Штриховой линией показано действительное упругое перемещение, возникающее от этих сил. Обозначим это состояние индексом 1. Перемещение точек приложения сил и в направлении этих сил в состоянии 1 обозначим и .

В процессе нагружения линейной системы силами и растут силы и пропорционально им растут перемещения и (рис. 3.2, в). Действительная работа сил и на создаваемых ими перемещениях равна сумме площадей графиков , т. е. . Записав это выражение как , получим произведение обобщенной силы на обобщенное пе­ремещение . В этой форме можно представит

работу сил при любом нагружении, если все нагрузки изменяются синхронно, т. е. отношение их значений остается постоянным.

Далее рассмотрим работу внешних сил на возможном перемещении. В качестве возможного перемещения при­мем, например, деформированное состояние системы, воз­никающее в результате приложения в некоторой точке силы (рис. 3.2, б). Это состояние, соответству­ющее дополнительному перемещению точек приложения сил и на расстояние и , обозначим 2. Силы и , не меняя своего значения, совершают виртуальную работу на перемещениях и (Рис. 3.2, в):

Как видно, в обозначении перемещения первый индекс показывает состояние, в котором заданы точки и направле­ния этих перемещений. Второй индекс показывает состоя­ние, в котором действуют силы, вызывающие это переме­щение.

Работа единичной силы F 2 на действительном перемещении

Если же рассматривать состояние 1 в качестве возмож­ного перемещения для силы F 2 ,то ее виртуальная работа на перемещении

Работа внутренних сил

Найдем работу внутренних сил состояния 1, т. е. от сил и , на виртуальных перемещениях состояния 2, т. е. возникших в результате приложения нагрузки F 2 . Для этого выделим элемент стержня длиной dx(рис. 3.2 и 3.3, а). Поскольку рассматриваемая система плоская, то в сечениях элемента действуют только две силы Sи Q z и изгибающий момент Му Эти усилия для вырезанного элемента являются внешними. Внутренние усилия - это усилия сцепления, обеспечивающие прочность материала. Они равны внешним по значению, но направлены в сторону, противоположную деформации, поэтому их работа при нагружении отрицательна (рис. 3.3, б-г, показаны серым цветом). Последовательно вычислим работу, совершаемую каждым силовым фактором.

Работа продольных сил на перемещении , которое создают силы S 2 , возникшие в результате приложения нагрузки F 2 (рис. 3.2, б, 3.3, б),

Удлинение стержня длиной dxнайдем по известной формуле

где A - площадь сечения стержня. Подставив это выра­жение в предыдущую формулу, находим

Аналогичным образом определим работу, которую со­вершает изгибающий момент на угловом перемещении ,создаваемом моментом (рис. 3.3, в):

Угол поворота найдем как

где J- момент инерции сечения стержня относительно оси у. После подстановки получим

Найдем работу поперечной силы на перемещении (рис. 3.3, г). Касательные напряжения и сдвиги от перерезывающей силы Q z распределены по сечению стержня не линейно (в отличие от нормальных напряжений и удлинений в предыдущих случаях нагружения). Поэтому для определения работы сдвига приходится рассматривать работу, совершаемую касательными напряжениями в сло­ях стержня.

Касательные напряжения от силы Q z , которые действу­ют в слое, лежащем на расстоянии zот нейтральной оси (рис. 3.3, д), вычисляются по формуле Журавского

где Су - статический момент части площади сечения, лежащей выше этого слоя, взятый относительно оси у; b- ширина сечения на уровне рассматриваемого слоя. Эти напряже­ния создают сдвиг слоя на угол, который согласно закону Гука определяется как - модуль сдвига. В результате этого торец слоя смещается на

Суммарная работа касательных напряжений первого со­стояния , действующих на торце этого слоя, на пере­мещениях второго состояния вычисляется путем интегрирования произведения поплощади сечения

После подстановки сюда выражений для и получим

Вынесем из под интеграла величины, не зависящие от z, умножим и разделим это выражение наА, получим

Здесь введен безразмерный коэффициент ,

зависящий только от конфигурации и соотношения разме­ров сечений. Для прямоугольника = 1,2, для двутавро­вых и коробчатых сечений (А с - площадь сече­ния стенки или в коробчатом сечении - двух стенок).

Поскольку работа каждого из рассмотренных компонен­тов нагружения (S, Q, М) на перемещениях, вызываемых другими компонентами, равна нулю, то суммарная работа всех внутренних сил для рассмотренного элемента стержня длиной dx

(3.3)

Суммарная работа внутренних сил состояния 1 на пере­мещениях состояния 2 для плоской стержневой системы получается путем интегрирования полученного выражения по участкам длиной 1 Ц, в пределах которых эпюры явля­ются интегрируемыми функциями, и суммирования по всем участкам:

В сечении элемента пространственной стержневой сис­темы действуют шесть внутренних усилий (S, Q, Q z , М х, Му, М 2), поэтому для нее выражение суммарной работы внутренних сил будет иметь вид,

Здесь M x - крутящий момент в стержне; J T - момент инерции стержня при свободном кручении (геометрическая жесткость на кручение). В подынтегральном выражении опущены индексы «и».

В формулах (3.3) и (3.4) S v Q yV Q zl , М х1 , М у1 , М г1 обозначают аналитические выражения эпюр внутренних усилий от действия сил F{и F{,aS 2 , Q y 2 , Q z 2 , М х2 , М у2 , М г2 - описания эпюр внутренних усилий от силы F 2 .

Теоремы об упругих системах

Структура формул (3.3) и (3.4) показывает, что они «сим­метричны» относительно состояний 1 и 2, т. е. работа внут­ренних сил состояния 1 на перемещениях состояния 2 равна работе внутренних сил состояния 2 на перемещениях со­стояния 1 Но согласно (3.2)

Следовательно, если равны работы внутрен­них сил, то равны и работы внешних сил -Это утверждение носит название теоремы о взаимности ра­бот (теорема Бетти, 1872 г.).

Для стержневой системы, загруженной силой F 1 (рис. 3.4, а), возьмем в качестве возможного перемещения деформированное состояние, возникшее при загружении ее силой F 2 (рис. 3.4, б). Для этой системы согласно теоре­ме Бетти 1- Если же положить , то получим

(3.5)

Эта формула выражает теорему Максвелла (1864 г.) о взаимности перемещений: перемещение точки приложе­ния первой единичной силы по ее направлению, вызван­ное действием второй единичной силы, равно перемеще­нию точки приложения второй единичной силы по своему направлению, вызванному действием первой единичной силы. Эту теорему можно применить и к системе на рис. 3.2. Если задать = 1 Н (п. 3.1.2), то получим ра­венство обобщенных перемещений .

Рассмотрим статически неопределимую систему с опо­рами, которым можно задавать требуемое перемещение, принимаемое как возможное (рис. 3.4, в, г). В первом со­стоянии сместим опору 1 на а во втором - зададим поворот заделки на угол - При этом возникнут реакции в первом состоянии и , а во втором - i . Согласно теореме о взаимности работ, запишем Если задать (здесь размерность = м, а величина - безразмерная), то получим

Это равенство численное, так как размерность реакции = Н, a = Н-м. Таким образом, реакция R 12 в неподвижной связи 1, возникающая при перемещении связи 2 на единицу, численно равна реакции , возника­ющей в связи 2 при единичном смещении связи 1. Это утверждение называется теоремой о взаимности реакций.

Теоремы, изложенные в данном разделе, используются для аналитического расчета статически неопределимых си­стем.

Определение перемещений

Общая формула перемещений

Для вычисления перемещений, возникающих в стерж­невой системе под действием заданной нагрузки (состоя­ние 1), следует сформировать вспомогательное состояние системы, в котором действует одно единичное усилие, совершающее работу на искомом перемещении (состояние 2). Это значит, что при определении линейного перемещения необходимо задать единичную силу F 2 = 1 Н, приложен­ную в той же точке и в том же направлении, в котором надо определить перемещение. Если требуется определить угол поворота какого-либо сечения, то в этом сечении прикладывается единичный момент F 2 = 1 Н м. После этого составляется уравнение энергий (3.2), в котором состояние 2 принимается за основное, а деформированное

состояние 1 рассматривается как виртуальное перемещение. Из этого уравнения и вычисляется искомое перемещение.

Найдем горизонтальное перемещение точкиВ для си­стемы на рис. 3.5, а. Для того чтобы в уравнение работ (3.2) попало искомое перемещение Д 21 , возьмем в качестве основного состояния перемещение системы под действием единичной силы F 2 - 1 Н (состояние 2, рис. 3.5, б). Возможным перемещением будем считать действительное де­формированное состояние конструкции (рис. 3.5, а).

Работу внешних сил состояния 2 на перемещениях со­стояния 1 найдем как Согласно (3.2),

следовательно, искомое перемещение

Поскольку (п. 3.1.4), работа внутренних сил состояния 2 на перемещениях состояния 1 вычисляется по формуле (3.3) или (3.4). Подставив в (3.7) выражение (3.3) дляработы внутренних сил плоской стержневой системы, найдем

Для дальнейшего использования этого выражения целесо­образно ввести понятие единичных эпюр внутренних сило­вых факторов, т.е. из которых первые две безразмерные, а размерность . В результате получится

В эти интегралы следует подставить выражения для эпюр распределениясоответствующих внутренних усилий от действующей нагрузки и и от силы F 2 = 1. Полу­ченное выражение называют формулой Мора (1881 г.).

При расчете пространственных стержневых систем для вычисления суммарной работы внутренних сил следует использовать формулу (3.4), тогда получится

Вполне очевидно, что в интегралы подставляются выра­жения для эпюр внутренних усилий S, Q y , Q z , М х, М у, М г и значения геометрических характеристик сечений A, J т, Jу,J, для соответствующего n-го участка. Для сокращения записи в обозначениях этих величин индекс «и» опущен.

3.2.2. Частные случаи определения перемещений

Формула (3.8) используется в общем случае плоской стержневой системы, однако в ряде случаев ее можно существенно упростить. Рассмотрим частные случаи ее реализации.

1. Если деформациями от продольных сил можно пренебречь, что характерно для балочных систем, то формула(3.8) будет записана как

2. Если плоская система состоит только из изгибаемых тонкостенных балок с отношением l/h> 5 для консолей или l/h> 10 для пролетов (I и h- длина балки и высота сече­ния), то, как правило, энергия деформаций изгиба суще­ственно превышает энергию деформаций от продольных и поперечных сил, поэтому их можно не учитывать в расче­те перемещений. Тогда формула (3.8) примет вид

3. Для ферм, стержни которых при узловом нагруже­нии испытывают в основном продольные усилия, можно считать М = 0 и Q= 0. Тогда перемещение узла вычисля­ется по формуле

Интегрирование производится по длине каждого стерж­ня, а суммирование - по всем стержням. Имея в виду, что усилие S u в и-м стержне и площадь сечения не изменяются по его длине, можем упростить данное выражение:

При всей видимой простоте этой формулы аналитиче­ский расчет перемещений в фермах весьма трудоемок, так как требует определения усилий во всех стержнях фермы от действующей нагрузки () и от единичной силы (), приложенной в точке, перемещение которой необходимо найти.

3.2.3. Методика и примеры определения перемещений

Рассмотрим вычисление интеграла Мора методом А. Н. Верещагина (1925 г.). Интеграл Мора имеет вид (3.8), где в качестве D 1 , D 2 могут фигурировать эпюры изгибающих моментов, продольных или поперечных сил. Как минимум одна из эпюр () в подынтегральном выражении линей­ная или кусочно-линейная, так как построена от единичной нагрузки. Поэтому для

решения интеграла можно применить следующий прием. Поло­жим, что на рассматриваемом участ­ке длиной I первая эпюра D 1 произ­вольной формы, а вторая - линейная: (рис. 3.6). Подставив это в интеграл Мора, найдем

Первый изинтегралов численно равен площади подграфиком (на рис. 3.6 заштрихована), а второй - статическому моменту этой площади относительно оси . Статический момент может быть записан как , где - координата положения центра тяжести площади (точка А). С учетом сказанного получим

(3.13)

Правило Верещагина формулируется следующим образом: если на участке хотя бы одна из эпюр линейна, то интеграл Мора вычисляется как произведение площади произволь

ной эпюры на ординату линейной эпюры, распо­ложенную под центром тяжести этой площади. Если обе эпюры расположены с одной стороны оси, то произведе­ние положительно, если с разных сторон, то - отрица­тельно. Этот метод может быть применен для вычисления любого из интегралов, входящих в выражения (3.8) и (3.9).

При расчете конструкций в среде Mathcadнет необхо­димости пользоваться правилом Верещагина, так как мож­но вычислять интеграл путем численного интегрирования.

Пример 3.1 (рис. 3.7, а). Балка загружена двумя сим­метрично расположенными силами . Найти перемеще­ния точек приложения сил .

1. Построим эпюру изгиба­ющих моментов М 1 от сил F 1 . Опорные реакции Максимальный изгибающий момент под силой

2. Поскольку система симметрична, то прогибы под силами будут одинаковы. В качестве вспомогательного состо­яния возьмем загружение бал­ки двумя единичными силами F 2 = 1 Н, приложенными в тех же точках, что и силы F 1

(рис. 3.7, б). Эпюра изгибающих моментов для данного нагружения аналогична предыдущей, и максимальный изгибающий момент М 2тах =0,5(L-b).

3. Нагружение системы двумя силами второго состоя­ния характеризуется обобщенной силой F 2 и обобщенным перемещением , которые создают работу внешних сил на перемещении состояния 1, равную . Вычислим перемещение по формуле (3.11). Перемножая эпю­ры по участкам по правилу Верещагина, найдем

После подстановки значений получим

Пример 3.2. Найти горизонтальное перемещение подвижной опоры П-образной рамы, загруженной силой F x (рис. 3.8, а).

1. Построим эпюру изгибающих моментов от силы F 1 Опорные реакции . Максималь­ный изгибающий момент под силой F 1

2. В качестве вспомогательного состояния возьмем загружение балки единичной горизонтальной силой F 2 , при­ложенной в точкеВ (рис. 3.8, б). Строим эпюру изгиба­ющих моментов для этого случая нагружения. Опорные реакции А 2у = В 2у = 0, А 2х = 1. Максимальный изгибающий момент .

3. Вычисляем перемещение по формуле (3.11). На вер­тикальных участках произведение равно нулю. На гори­зонтальном участке эпюра М 1 не линейна, а эпюра линейна. Перемножая эпюры методом Верещагина, полу­чим

Произведение отрицательно, так как эпюры лежат по разные стороны. Полученное отрицательное значение перемещения свидетельствует о том, что фактическое его на­правление противоположно направлению единичной силы.

Пример 3.3 (рис. 3.9). Найти угол поворота сечения двухопорной балки под силой и найти положение силы, при котором этот угол будет максимальным.

1. Построим эпюру изгибающих моментов М 1 от силы F 1 .Для этого найдем опорную реакцию А 1 . Из уравнения равновесия для системы в целом найдем .Максимальный изгибающий момент под силой Fj

2. В качестве вспомогательного состояния возьмем загружение балки единичным моментом F 2 = 1 Н-м в том сечении, поворот которого надо определить (рис. 3.9, б). Строим эпюру изгибающих моментов для этого случая нагружения. Опорные реакции А 2 = -В 2 = 1/L,изгибающие моменты

Оба момента отрицательные, так как направлены по часовой стрелке. Эпюры строятся на растянутом волокне.

3. Вычисляем угол поворота по формуле (3.11), выполняя перемножение по двум участкам,

Обозначив , можно получить это выражение в более удобной форме:

График зависимости угла поворота от положения силы F 1 показан на рис. 3.9, в. Продифференцировав это выражение, из условия найдем положение силы, при котором угол наклона балки под ней будет наи­большим по абсолютному значению. Это произойдет при значениях равных 0,21 и 0,79.

Перейдем к рассмотрению еще одного принципа механики, который устанавливает общее условие равновесия механической системы. Под равновесием (см. § 1) мы понимаем то состояние системы, при котором все ее точки под действием приложенных сил находятся в покое по отношению к инерциальной системе отсчета (рассматриваем так называемое «абсолютное» равновесие). Одновременно будем считать все наложенные на систему связи стационарными и специально это в дальнейшем каждый раз оговаривать не будем.

Введем понятие о возможной работе, как об элементарной работе, которую действующая на материальную точку сила могла бы совершить на перемещении, совпадающем с возможным перемещением этой точки. Будем возможную работу активной силы обозначать символом , а возможную работу реакции N связи - символом

Дадим теперь общее определение понятия об идеальных связях, которым мы уже пользовались (см. § 123): идеальными называются связи, для которых сумма элементарных работ их реакций на любом возможном перемещении системы равна нулю, т. е.

Приведенное в § 123 и выраженное равенством (52) условие идеальности связей, когда они одновременно являются стационарными, соответствует определению (98), так как при стационарных связях каждое действительное перемещение совпадает с одним из возможных. Поэтому примерами идеальных связей будут все примеры, приведенные в § 123.

Для определения необходимого условия равновесия докажем, что если механическая система с идеальными связями находится действием приложенных сил в равновесии, то при любом возможном перемещении системы должно выполняться равенство

где - угол между силой и возможным перемещением.

Обозначим равнодействующие всех (и внешних, и внутренних) активных сил и реакций связей, действующих на какую-нибудь точку системы соответственно через . Тогда, поскольку каждая из точек системы находится в равновесии, , а следовательно, и сумма работ этих сил при любом перемещении точки будет тоже равна нулю, т. е. . Составив такие равенства для всех точек системы и сложив их почленно, получим

Но так как связи идеальные, представляют собой возможные перемещения точек системы, то вторая сумма по условию (98) будет равна нулю. Тогда равна нулю и первая сумма, т. е. выполняется равенство (99). Таким образом, доказано, что равенство (99) выражает необходимое условие равновесия системы.

Покажем, что это условие является и достаточным, т. е. что если к точкам механической системы, находящейся в покое, приложить активные силы удовлетворяющие равенству (99), то система останется в покое. Предположим обратное, т. е. что система при этом Придет в движение и некоторые ее точки совершат действительные перемещения . Тогда силы совершат на этих перемещениях работу и по теореме об изменении кинетической энергии будет:

где, очевидно, , так как вначале система была в покое; следовательно, и . Но при стационарных связях действительные перемещения совпадают с какими-то из возможных перемещений и на этих перемещениях тоже должно быть что противоречит условию (99). Таким образом, когда приложенные силы удовлетворяют условию (99), система из состояния покоя выйти не может и это условие является достаточным условием равновесия.

Из доказанного вытекает следующий принцип возможных перемещений: для равновесия механической системы с идеальными связями необходимо и достаточно, чтобы сумма элементарных работ всех действующих на нее активных сил при любом возможном перемещении системы была равна нулю. Математически сформулированное условие равновесия выражается равенством (99), которое называют также уравнением возможных работ. Это равенство можно еще представить в аналитической форме (см. § 87):

Принцип возможных перемещений устанавливает общее условие равновесия механической системы, не требующее рассмотрения равновесия отдельных частей (тел) этой системы и позволяющее при идеальных связях исключить из рассмотрения все наперед неизвестные реакции связей.

Принцип возможных перемещений : для равновесия механической системы с идеальными связями необходимо и достаточно, чтобы сумма элементарных работ всех действующих на нее активных сил при любом возможном перемещении была равна нулю. или в проекциях: .

Принцип возможных перемещений дает в общей форме условия равновесия для любой механической системы, дает общий метод решения задач статики .

Если система имеет несколько степеней свободы, то уравнение принципа возможных перемещений составляют для каждого из независимого перемещений в отдельности, т.е. будет столько уравнений, сколько система имеет степеней свободы.

Принцип возможных перемещений удобен тем, что при рассмотрении системы с идеальными связями их реакции не учитываются и необходимо оперировать только активными силами.

Принцип возможных перемещений формулируется следующим образом:

Для того, чтобы матер. система, подчиненная идеальным связям находилась в состоянии покоя, необходимо и достаточно, чтобы сумма элементарных работ, производимых активными силами на возможных перемещениях точек системы была положительная

Общее уравнение динамики - при движении системы с идеальными связями в каждый данный момент времен сумма элементарных работ всех приложенных активных сил и всех сил инерции на любом возможном перемещении системы будет равна нулю. Уравнение использует принцип возможных перемещений и принцип Даламбера и позволяет составить дифференциальные уравнения движения любой механической системы. Дает общий метод решения задач динамики.

Последовательность составления:

а) к каждому телу прикладывают действующие на него задаваемые силы, а также условно прикладывают силы и моменты пар сил инерции;

б) сообщают системе возможные перемещения;

в) составляют уравнения принципа возможных перемещений, считая систему находящейся в равновесии.

Следует отметить, что общее уравнение динамики можно применять и для систем с неидеальными связями, только в этом случае реакции неидеальных связей, таких, например, как сила трения или момент трения качения, необходимо отнести к категории активных сил.

Работа на возможном перемещении как активных, так и сил инерций , ищется также как и элементарная работа на действительном перемещении:

Возможная работа силы: .

Возможная работа момента (пары сил): .

Обобщенными координатами механической системы называются независимые между собой параметры q 1 , q 2 , …, q S любой размерности, однозначно определяющие положение системы в любой момент времени.

Число обобщенных координат равно S - числу степеней свободы механической системы. Положение каждой ν-й точки системы, то есть ее радиус вектор в общем случае всегда можно выразить в виде функции обобщенных координат:

Общее уравнение динамики в обобщенных координатах выглядит в виде системы S уравнений следующим образом:

……..………. ;

………..……. ;

здесь - обобщенная сила, соответствующая обобщенной координате :

а - обобщенная сила инерции, соответствующая обобщенной координате :

Число независимых между собою возможных перемещений системы называется числом степеней свободы этой системы. Например. шар на плоскости может перемещаться в любом направлении, но любое его возможное перемещение может быть получено как геометрическая сумма двух перемещений вдоль двух взаимно перпендикулярных осей. Свободное твердое тело имеет 6 степеней свободы.

Обобщенные силы. Каждой обобщенной координате можно вычислить соответствующую ей обобщенную силу Q k .

Вычисление производится по такому правилу.

Чтобы определить обобщенную силу Q k , соответствующую обобщенной координате q k , надо дать этой координате приращение (увеличить координату на эту величину), оставив все другие координаты неизменными, вычислить сумму работ всех сил, приложенных к системе, на соответствующих перемещениях точек и поделить ее на приращение координаты :

где - перемещение i -той точки системы, полученное за счет изменения k -той обобщенной координаты.

Обобщенная сила определяется с помощью элементарных работ. Поэтому эту силу можно вычислить иначе:

И так как есть приращение радиуса-вектора за счет приращения координаты при остальных неизменных координатах и времени t , отношение можно определять как частную производную . Тогда

где координаты точек - функции обобщенных координат (5).

Если система консервативная, то есть движение происходит под действием сил потенциального поля, проекции которых , где , а координаты точек - функции обобщенных координат, то

Обобщенная сила консервативной системы есть частная производная от потенциальной энергии по соответствующей обобщенной координате со знаком минус.

Конечно, при вычислении этой обобщенной силы потенциальную энергию следует определять как функцию обобщенных координат

П = П(q 1 , q 2 , q 3 ,…,q s ).

Замечания.

Первое. При вычислении обобщенных сил реакции идеальных связей не учитываются.

Второе. Размерность обобщенной силы зависит от размерности обобщенной координаты.

Уравнения Лагранжа 2-го рода выводятся из общего уравнения динамики в обобщенных координатах. Число уравнений соответствует числу степеней свободы:

Для составления уравнения Лагранжа 2-го рода выбираются обобщенные координаты и находятся обобщенные скорости . Находится кинетическая энергия системы, которая является функцией обобщенных скоростей, и, в некоторых случаях, обобщенных координат. Выполняются операции дифференцирования кинетической энергии, предусмотренные левыми частями уравнений Лагранжа.Полученные выражения приравниваются обобщенным силам, для нахождения которых помимо формул (26) часто при решении задач используют следующие:

В числителе правой части формулы - сумма элементарных работ все активных сил на возможном перемещении системы, соответствующем вариации i-й обобщенной координаты - . При этом возможном перемещении все остальные обобщенные координаты не изменяются. Полученные уравнения являются дифференциальными уравнениями движения механической системы с S степенями свободы.