Кручение статически неопределимого стержня. Решение типовых задач по сопромату
Рассмотрим расчет статически неопределимой системы на кручение на конкретном примере.
Пример . Определить из расчета на прочность при допускаемое значение скручивающего момента для вала, жестко защемленного обоими концами и нагруженного, как показано на рис. 10.8, а.
Рис. 10.8. Схема статически неопределимого вала
В заделках возникают реактивные моменты m A и m B (рис. 10.8, а). Составим уравнение равновесия относительно продольной оси вала:
Таким образом, задача является один раз статически неопределимой – одно уравнение статики и два неизвестных реактивных момента. Для составления уравнения перемещений отбросим правую заделку, заменив ее действие на вал неизвестным реактивным моментом . Полученная таким образом статически определимая система (рис. 10.8, б) эквивалентна заданной, и, следовательно, угол поворота сечения B равен нулю:
Применяя принцип независимости действия сил, запишем уравнение перемещений для сечения B в виде
При действии только момента m 1 угол поворота сечения В равен углу закручивания участка АС , т. е.
Аналогично при действии только момента m 2:
При действии только момента m B = X имеем:
Для упрощения вычислений выразим
Подставляя значения углов поворота в уравнение совместности деформаций и учитывая последнее равенство, получаем:
Подставляя значение Х в уравнение равновесия, найдем:
После раскрытия статической неопределимости эпюры крутящих моментов, касательных напряжений и углов закручивания строятся обычным способом. Эта эпюры представлена на рис. 10.8, в, г, д.
Опасными являются сечения участка ВЕ . Следует отметить, что сечения, в которых возникают наибольшие крутящие моменты (участок АС ), в данном случае менее опасны.
Запишем условие прочности:
Расчет цилиндрических винтовых пружин
С малым шагом витков
Во многих механизмах и машинах, например в рессорах вагонов и автомобилей, применяют винтовые пружины. Эти пружины навивают из проволоки круглого поперечного сечения, изготовленной из специальных марок стали. При проектировании таких пружин необходимо уметь вычислять наибольшие напряжения (для проверки на прочность) и определять деформацию пружины (ее удлинение или прогиб). Точный расчет винтовых пружин достаточно сложен, так как материал пружины испытывает одновременно кручение, сдвиг, изгиб и растяжение.
Пружина с малым шагом витков – это такая пружина, у которой угол между плоскостью, перпендикулярной к оси пружины, и плоскостью витка не превышает 14º.
Пусть винтовая пружина растягивается (или сжимается) силами F , имеет средний диаметр D = 2R и изготовлена из проволоки диаметром d (рис. 10.9, а). Для определения внутренних усилий в пружине применим метод сечений.
Рис. 10.9. Схема винтовой пружины с малым шагом витков
Верхняя часть пружины (рис. 10.9, б) будет находиться в равновесии под действием внешней силы F и внутренних усилий в проведенном сечении прутка, которые можно представить суммой силы F и крутящего момента М кр .
Считая, что угол наклона витка , можно пренебречь остальными силовыми факторами (продольной силой и изгибающим моментом). Материал пружины испытывает срез и кручение.
Сила вызывает в поперечном сечении касательные напряжения , которые определяются по формуле
Считаем, что касательные напряжения распределяются по сечению равномерно (рис. 10.9, г).
Максимальные касательные напряжения от кручения равны:
Распределение касательных напряжений от кручения показано на рис. 10.9, в.
Опасной точкой на контуре сечения является точка А , в которой направления касательных напряжений совпадают. Таким образом, максимальные касательные напряжения равны:
Так как и на практике то часто действием пренебрегают.
Условие прочности для пружин малой кривизны (приближенный расчет):
Условие прочности для пружин малой кривизны:
Из формул для определения следует, что увеличение диаметра пружины D уменьшает ее прочность, а увеличение диаметра проволоки d – увеличивает.
При определении деформации пружины будем учитывать только кручение витков.
Изменение длины пружины вдоль оси под действием внешней нагрузки называется осадкой пружины λ
где n – число витков;
G – модуль сдвига.
Зависимость осадки λ от осевой нагрузки F называется характеристикой пружины. Обычные пружины имеют линейную характеристику.
Усилие F , при котором перемещение λ равно единице (1 м), называется жесткостью пружины с , которая определяется по формуле
размерность жесткости кН/м.
Итак, увеличение числа витков n и диаметра пружины D уменьшает жесткость пружины, а увеличение диаметра проволоки d повышает жесткость пружины.
Пример расчета
Задача 1. Для заданной схемы (рис. 10.10, а) определить значение m и построить эпюру крутящих моментов.
Решение.
1. Методом сечений на каждом участке вала определяем значение крутящего момента.
Рис. 10.10. Схема вала для построения эпюры
крутящих моментов
1-й участок . Рассмотрим равновесие левой отсеченной части вала. Составим уравнение равновесия:
На 1-м участке имеет отрицательное значение, так как со стороны внешней нормали к отсеченной части вращается по часовой стрелке.
2-й участок:
3-й участок:
с другой стороны:
2. Эпюра с учетом знаков построена на рис. 10.10, б.
Задача 2. Вал круглого поперечного сечения диаметром d = 40 мм скручивается моментами m 1 = 0,6 кНм, m 2 = 1,2 кНм и m 3 = 0,8 кНм (рис. 10.11, а). Проверить прочность вала и определить абсолютный угол закручивания концевого сечения, если [τ ] = 80 МПа, G = = 8×10 4 МПа.
Рис. 10.11. Схема вала круглого поперечного сечения
Решение.
1. Методом сечений строим эпюру крутящих моментов (рис. 10.11, б).
2. Определим геометрические характеристики поперечного сечения вала:
3. Проверяем прочность вала:
4. Определяем абсолютный угол закручивания концевого сечения:
Задача 3. Построить эпюру углов закручивания для ступенчатого стального вала, нагруженного, как показано на рис. 10.12, а. G = = 8×10 4 МПа.
Решение.
1. Определим геометрические характеристики сечений каждой ступени вала:
Рис. 10.12. Схема ступенчатого вала
2. Построим эпюру крутящих моментов (рис. 10.12, б).
3. Определим углы закручивания в характерных сечениях вала по формуле
Изображена на рис. 10.12, в.
Задача 4. Определить внутренний и наружный диаметры полого стального вала, передающего мощность N = 100 кВт и вращающегося с угловой скоростью ω = 80 рад/с, если [τ ] = 60 МПа; α = d /D = 0,6, [θ ] = 45×10 –4 рад/м, G = 8×10 4 МПа.
Решение.
1. Определим крутящий момент на валу:
2. Из условия прочности определим момент сопротивления сечения вала:
3. Определим наружный диаметр вала из условия жесткости:
4. Принимаем D = 80 мм, d = 48 мм.
Задача 5. Вал диаметром 90 мм передает мощность N = 80 кВт. Определить предельное число оборотов вала, если [τ ] = 60 МПа.
Решение.
1. Определим момент сопротивления поперечного сечения вала:
2. Из условия прочности определим крутящий момент на валу:
3. Определим предельное число оборотов вала:
Задача 6.
Какую мощность может передать вал, вращающийся с угловой мощностью ω
= 20 рад/с, диаметром d
= 100 мм при допускаемом напряжении [τ
] = 60 МПа и допускаемом угле закручивания
[θ
] = 45 × 10 –4 рад/м. Модуль сдвига G
= 8 × 10 4 МПа.
Решение .
1. Определим геометрические характеристики поперечного сечения вала:
2. Передаваемая валом мощность определяется по формуле
3. Из условия прочности имеем:
Из условия жесткости:
Принимаем
Задача 7.
d
= 6 мм, имеет n
= 10 витков. Диаметр пружины D
= 66 мм. Пружина растягивается осевыми силами F
= 300 Н. Проверить прочность пружины, если [τ
] = 240 МПа. Определить удлинение и жесткость пружины и накапливаемую потенциальную энергию.
G
= 8 × 10 4 МПа.
Решение.
1. Определим поправочный коэффициент:
2. Определим касательные напряжения, возникающие в поперечных сечениях прутка пружины:
3. Определим удлинение пружины под действием внешней нагрузки:
4. Определим жесткость пружины:
5. Определим потенциальную энергию деформации:
Задача 8. Стальная цилиндрическая пружина сжимается осевыми силами F (рис. 10.13). Пружина навита из проволоки диаметром d = 5 мм, с шагом t = 10 мм и имеет диаметр D = 30 мм. Определить значение сил F , при которых будет достигнута ее предельная осадка. G = 8 × 10 4 МПа.
Рис. 10.13. Схема пружины, сжатой осевыми силами
Решение.
1. Запишем условие жесткости пружины при сжатии:
2. Определим предельное значение сил F :
10.7. Задачи для самостоятельного решения
Задача 9. Для заданной схемы нагружения вала (рис. 10.14) построить эпюру крутящих моментов.
Рис. 10.14. Схема вала для построения эпюры крутящих моментов
Задача 10. Для заданного ступенчатого вала (рис. 10.15) построить эпюру крутящих моментов.
Рис. 10.15. Схема ступенчатого вала для построения эпюры
крутящих моментов
Задача 11. К валу постоянного сечения диаметром d = 50 мм (рис. 10.16) приложены моменты m 1 = 1 кНм, m 2 = 0,2 кНм, m 3 = 0,4 кНм и m 4 = 0,4 кНм. Проверить прочность вала, если [τ ] = 60 МПа. Определить полный угол закручивания, если G = 8 × 10 4 МПа.
Рис. 10.16. Схема вала постоянного сечения
Задача 12. Цилиндрическая пружина, изготовленная из стальной проволоки диаметром d = 5 мм, растягивается силами F = 400 Н. Диаметр пружины D = 30 мм. Проверить прочность пружины, если [τ ] = 500 МПа. Определить число витков пружины, при котором она удлиняется на 40 мм. G = 8 × 10 4 МПа.
Задача 13. Определить требуемый диаметр проволоки винтовой цилиндрической пружины для осевой нагрузки F = 1,2 кН, если D /d = 6 и [τ ] = 500 МПа.
Задача 14. Для заданной схемы нагружения (рис. 10.17) определить диаметры проволоки для обеих пружин, если D 1 /d 1 = D 2 /d 2 = 8 и [τ ] = = 600 МПа.
Рис. 10.17. Схема бруса, подвешенного на двух пружинах
10.8. Контрольные вопросы
1. Какой вид нагружения называется кручением?
2. Что называется валом? Что такое крутящий момент?
3. Какие деформации возникают при кручении?
4. Какие внутренние силовые факторы возникают при кручении?
5. Вывести формулу для определения напряжений в поперечном сечении скручиваемого круглого вала.
6. Вывести формулы для определения относительного и полного углов закручивания круглого вала.
7. Что такое эпюра крутящего момента и как она строится?
8. Как распределяется касательное напряжение при кручении? Чему равно напряжение в центре круглого поперечного сечения?
9. Написать формулу для расчета напряжения на поверхности вала при кручении. Как изменится напряжение, если диаметр вала увеличится в два раза?
10. В чем заключается расчет на прочность при кручении?
11. В чем заключается расчет на жесткость при кручении?
12. Почему при одинаковой прочности и жесткости вал кольцевого поперечного сечения легче, чем вал сплошного круглого сечения?
13. Как вычислить потенциальную энергию деформации, накапливаемую валом при кручении?
14. Расчет статически неопределимых валов.
15. Расчет цилиндрических пружин с малым шагом витков. Что такое осадка и жесткость пружины, как они определяются?
Сложное сопротивление
ПРИ КРУЧЕНИИ (ЗАДАЧА № 11)
Условие задачи
Стальной вал круглого поперечного сечения состоит из трех участков с различными полярными моментами инерции (рис. 3.6, а ). Концы вала жестко закреплены от поворота относительно продольной оси вала. Заданы нагрузки: пары сил и , действующие в плоскости поперечного сечения вала; отношения полярных моментов инерции участков вала и ; длины участков , , .
Требуется:
1) построить эпюру крутящих моментов;
2) подобрать размеры поперечных сечений из условия прочности;
3) построить эпюру углов закручивания.
Решение
Ввиду наличия двух жестких опорных закреплений под действием нагрузки в каждом из них возникают реактивные пары и . Составив условие равновесия вала
убеждаемся в том, что записанное уравнение не может быть решено однозначно, поскольку содержит две неизвестные величины: и . Остальные уравнения равновесия при данной нагрузке выполняются тождественно. Следовательно, задача является один раз статически неопределимой.
Для раскрытия статической неопределимости составим условие совместности деформаций. Вследствие жесткости опорных закреплений концевые сечения вала не поворачиваются. Это равносильно тому, что полный угол закручивания вала на участке А–В
равен нулю: , или 
.
Последнее уравнение и есть условие совместности деформаций. Для его связи с уравнением равновесия запишем физические уравнения, связывающие крутящие моменты и углы закручивания (3.3) (закон Гука при кручении), для каждого участка стержня:
, 
, 
.
Подставив физические соотношения в условие совместности деформаций, находим реактивный момент , а затем из уравнения равновесия определяем . Эпюра крутящих моментов показана на рис. 3.6, б .
Для решения задачи о подборе сечения запишем формулы для определения максимальных касательных напряжений (3.5) на каждом участке вала:
; 
; 
.
Коэффициенты и , представляющие собой отношения полярных моментов сопротивления сечений второго и третьего участков вала к полярному моменту сопротивления сечения первого участка , определим через известные параметры и .
Полярный момент инерции может быть записан двояким образом:
; 
,
где , - радиусы первого и второго участков стержня. Отсюда выразим радиус через :
Тогда полярный момент сопротивления второго участка
,
то есть . Аналогично .
Теперь можно сравнить между собой максимальные касательные напряжения на отдельных участках и для наибольшего из них записать условие прочности (3.13). Из этого условия находим требуемый полярный момент сопротивления , и затем, используя формулу (3.8), радиусы вала на каждом участке.
; ; .
Для построения эпюры углов закручивания вычислим углы закручивания на каждом участке стержня по формуле (3.3). Ординаты эпюры получаются последовательным суммированием результатов для отдельных участков, начиная с одного из концов вала. Контролем правильности решения является равенство нулю угла закручивания на другом конце вала Вид эпюры углов закручивания показан на рис. 3.6, в .
Для конструкции, имеющей жесткий стержень, рациональным уравнением равновесия, в которое входит одно неизвестное усилие, является уравнение , где А – шарнир, вокруг которого поворачивается жесткий стержень.
Как видно из названия, этот способ применим к конструкциям, стержни которых выполнены из пластичного материала.
Очевидно, что связь между деформациями стержней будет такой же, как и в первой части задачи, поэтому уравнение совместности деформаций в третьей части задачи можно записать, используя ранее полученное уравнение, заменив в нем на .
При решении этой задачи студенты заочной формы обучения выполняют только расчет по предельному пластическому состоянию. Остальные студенты решают задачу № 6 в соответствии с требованием преподавателя. Пункт 2, отмеченный значком *, не является обязательным и выполняется по желанию студента.
Современные нормы строительного проектирования предусматривают более сложный подход (введение отдельных коэффициентов запаса на нагрузку, свойства материала, условия работы конструкции). С этим студент познакомится при изучении курсов металлических, железобетонных и других конструкций.
Задачи кручения стержней являются статически неопределимыми, если крутящие моменты, возникающие в поперечных сечениях стержня, не могут быть определены с помощью одних только уравнений равновесия. Для решения таких задач необходимо также рассматривать деформированное состояние скручиваемого стержня.
В качестве примера рассмотрим закрепленный на концах стержень круглого сечения, нагруженный скручивающим моментом М, приложенным на расстоянии а от левого конца (рис. 8.15, а).
Для определения двух опорных моментов М А и М в имеем лишь одно уравнение равновесия
Для составления уравнения деформаций отбросим мысленно правую опору (рис. 8.15, б). Найдем угол закручивания (p s сечения В образованного таким образом статически определимого стержня и приравняем его к нулю:
Из этого равенства получим
Из уравнения равновесия (8.29) найдем
При известных величинах М А и М в можно определить крутящий момент М и угол закручивания ср в произвольном сечении стержня.
Соответствующие эпюры М к и (р приведены на рис. 8.15, в, г.
Кручение стержней с некруглым поперечным сечением. Задача Сен-Венана
Как показывают эксперименты, при кручении стержней некруглого поперечного сечения гипотезы, принятые в § 8.2, оказываются несправедливыми. Основным отличием является то, что поперечные сечения в таких стержнях при кручении не остаются плоскими, а искривляются (рис. 8.16). Это явление называется депланацией. При этом в зависимости от условий закрепления стержня депланация по длине стержня может быть различна. Так, например, если один торец стержня закреплен (рис. 8.16), то депланация в заделке отсутствует, а на свободном торце она наибольшая. При этом, очевидно, некоторые продольные волокна стержня удлиняются, а другие - укорачиваются. Это возможно лишь за счет появления нормальных напряжений о г, которые на первый взгляд должны отсутствовать, поскольку внутренние усилия (N, М х, М у), являющиеся равнодействующими этих напряжений, при кручении равны нулю.
Кручение стержня, при котором депланация сечения по длине стержня изменяется, называется стесненным кручением.
В этом параграфе рассмотрим такое кручение, при котором депланация по длине стержня постоянна и ее можно характеризовать величиной перемещения w = w (х, у) в осевом направлении. Такое кручение стержня называется свободным кручением. Свободное кручение имеет место, например, когда стержень постоянного по всей длине сечения нагружен по торцам двумя скручивающими моментами (рис. 8.17).
Решение задачи свободного кручения стержней некруглого поперечного сечения получено Сен-Венаном. В основу решения положены следующие допущения.
1. Перемещения ниув плоскости Оху описываются теми же соотношениями, что и при кручении стержней круглого сечения (формулы (8.22)):
2. Величина депланации пропорциональна относительному углу закручивания ф", то есть
Здесь следует отметить, что если в рассматриваемой задаче (см. рис. 8.17) считать, что сечение z
= 0 не поворачивается, то углы закручивания ф изменяются по длине стержня по линейному закону (рис. 8.11) и
Из соотношений Коши (5.8) с учетом (8.30) и (8.31) найдем деформации:
С помощью закона Гука (6.12) получим
а остальные напряжения равны нулю.
Из этих соотношений видно, что в стержне возникает напряженное состояние чистого сдвига. Подставив выражения для t xz и x yz в формулу (8.8), вычислим величину крутящего момента:
Входящий в это равенство интеграл
назовем моментом инерции сечения при кручении. В случае круглого сечения, когда депланация отсутствует (|/ = 0), эта величина совпадает с полярным моментом инерции
Подставляя (8.35) в (8.34), получим
Эта формула совпадает по форме с (8.8). Отличными в этих формулах являются только геометрические характеристики / и J.
Произведение GJ K называется жесткостью стержня при свободном кручении.
Таким образом, для решения задачи о свободном кручении стержней некруглого поперечного сечения необходимо найти функцию ц/(х, у). Тогда из (8.36) с учетом (8.35) можно определить относительный угол закручивания ф", а с помощью (8.33) и (8.32) - вычислить напряжения и деформации.
Подставив выражения для напряжений t xz и % yz из (8.33) в третье уравнение равновесия Навье (4.10) при отсутствии объемных сил, получим
Отсюда следует, что функция f(x, у) должна удовлетворять уравнению Лапласа
Рассмотрим теперь граничные условия:
На боковой поверхности стержня, которая свободна от внешних нагрузок и имеет нормаль v, перпендикулярную к оси Oz, имеем
С учетом этих равенств третье граничное условие (8.39), дает
Преобразуем это условие, рассмотрев бесконечно малый элемент АВС у границы поперечного сечения (рис. 8.18). Направление касательной t примем так, как показано на этом рисунке.
Подставляя эти значения в (8.40), получим
Таким образом, задача о кручении стержня с произвольным поперечным сечением сводится к решению дифференциального уравнения (8.38) с граничным условием (8.42).
Граничное условие (8.42) имеет сложный вид и не очень удобно для решения задач. Поэтому рассмотрим другой подход, приводящий к более простому граничному условию.
Уравнению (8.37) можно удовлетворить, приняв
где Ф = Ф (х, у) называется функцией напряжений.
Из равенств (8.33) и (8.43) получим
Исключим функцию |/. Для этого продифференцируем первое равенство по у,
второе - по х и вычтем из первого равенства второе:
Таким образом, функция Ф удовлетворяет уравнению Пуассона
Граничное условие (8.40) с учетом (8.41) и (8.43) принимает вид
Отсюда следует, что на границе
В случае односвязных, то есть сплошных, сечений эту постоянную можно принять равной нулю. Тогда получим, что на границе
Таким образом, задача определения напряжений в скручиваемом стержне некруглого поперечного сечения сводится к отысканию функции Ф, которая удовлетворяет уравнению Пуассона (8.44) и граничному условию (8.46).
Выразим крутящий момент М к через функцию напряжений Ф. Подставив (8.43) в (8.34), получим
Дважды интегрируя это выражение по частям и используя граничное условие (8.46), можно получить следующее равенство:
Системы, в которых количество наложенных связей больше, числа независимых уравн равновесия,называются стат неопред .По сравнению со стат определимыми системами, в ста неопрд. системах имеются дополнительные лишние связи.Термин “лишние связи” является условным. Эти связи являются лишними с точки зрения расчетных предпосылок. В действительности эти связи создают дополнитрезервы для конструкций, как в плане обеспечения её жесткости, так и прочности.На рис. 2.5, а изображен кронштейн, сост из 2 стержней, шарнирно скрепленных между собой. В связи с тем, что на конструкцию действует лишь вертик усилие Р , а система является плоской получается, что усилия в стержнях легко определ. из условий равновесия узла А , т.е.x = 0, y = 0. Раскрывая эти уравнения, получаем замкнутую систему лин уравнений относительно неизвестных усилий N 1 и N 2 в которой количество уравнений равно количеству неизвестных:N 1 N 2 sin = 0;N 2 cos Р = 0.
Если конструкцию кронштейна усложнить, добавив еще один стержень (рис. 2.5, б ), то усилия в стержнях N 1 , N 2 и N 3 прежним способом определить уже не удастся, т.к. при тех же двух уравнениях равновесия (2.16) имеются 3 неизвестных усилия в стержнях. Получсистема один раз ста неопределима. Разность между числом неизвестных усилий и количеством независимых (значащих) уравнений равновесия, связывающих эти усилия, называется степенью ст неопределрассматриваемой системы.В общем случае под n раз статически неопределимой системой понимается система, в которой число неизвестных внешних опорных реакций и внутренних усилий превышает число независимых и значащих уравнений равновесия на n единиц. Решение статически неопределимых задач методом сил проводится в такой последовательности.1Устанавливае степень ст неопред системы как разность между числом искомых неизв усилий и числом независ уравн равновесия. Учитывается, что простой шарнир, соединяющ 2 стержня системы, уменьшает степень ст неопределим на 1, т к снимает одну связь, препятств повороту одной части системы относительно другой. Простой шарнир позволяет добавить к уравн. равн. всей системы уравнение равновесия присоединенной этим шарниром части системы.2. Из заданной ст неопр. сист выделяется основная система путем удаления лишних связей и внешней нагрузки.3. Изображается соответствующая выбранной основной эквивалентная система, в которой взамен снятых лишних связей и в их направлении приложены силы X i , если связи препятствовали линейному перемещению, и пары X k , если они исключали повороты сечений.4. Составляются канонические уравнения метода сил.5. Вычисляются коэффициенты канонических уравнений аналитически
Кручение стержня круглого сечения – условие задачи
К стальному валу постоянного поперечного сечения (рис. 3.8) приложены четыре внешних скручивающих момента: кН·м; кН·м; кН·м; кН·м. Длины участков стержня: м; м, м, м. Требуется: построить эпюру крутящих моментов, определить диаметр вала при кН/см2 и построить эпюру углов закручивания поперечных сечений стержня.
Кручение стержня круглого сечения – расчетная схема
Рис. 3.8
Решение задачи кручение стержня круглого сечения
Определяем реактивный момент, возникающий в жесткой заделке
Обозначим момент в заделке и направим его, например, против хода часовой стрелки (при взгляде навстречу оси z).
Запишем уравнение равновесия вала. При этом будем пользоваться следующим правилом знаков: внешние скручивающие моменты (активные моменты, а также реактивный момент в заделке), вращающие вал против хода часовой стрелки (при взгляде на него навстречу оси z), считаем положительными.
Знак «плюс» в полученном нами выражении говорит о том, что мы угадали направление реактивного момента , возникающего в заделке.
Строим эпюру крутящих моментов
Напомним, что внутренний крутящий момент , возникающий в некотором поперечном сечении стержня, равен алгебраической сумме внешних скручивающих моментов, приложенных к любой из рассматриваемых частей стержня (то есть действующих левее или правее сделанного сечения). При этом внешний скручивающий момент, вращающий рассматриваемую часть стержня против хода часовой стрелки (при взгляде на поперечное сечение), входит в эту алгебраическую сумму со знаком «плюс», а по ходу – со знаком «минус».
Соответственно, положительный внутренний крутящий момент, противодействующий внешним скручивающим моментам, направлен по ходу часовой стрелки (при взгляде на поперечное сечение), а отрицательный – против ее хода.
Разбиваем длину стержня на четыре участка (рис. 3.8, а). Границами участков являются те сечения, в которых приложены внешние моменты.
Делаем по одному сечению в произвольном месте каждого из четырех участков стержня.
Cечение 1 – 1. Мысленно отбросим (или закроем листком бумаги) левую часть стержня. Чтобы уравновесить скручивающий момент кН·м, в поперечном сечении стержня должен возникнуть равный ему и противоположно направленный крутящий момент . С учетом упомянутого выше правила знаков
кН·м.
Сечения 2 – 2 и 3 – 3:
Сечение 4 – 4. Чтобы определить крутящий момент, в сечении 4 – 4 отбросим правую часть стержня. Тогда
кН·м.
Легко убедиться в том, что полученный результат не изменится, если мы отбросим теперь не правую, а левую часть стержня. Получим
Для построения эпюры крутящих моментов проводим тонкой линией ось, параллельную оси стержня z (рис. 3.8, б). Вычисленные значения крутящих моментов в выбранном масштабе и с учетом их знака откладываем от этой оси. В пределах каждого из участков стержня крутящий момент постоянен, поэтому мы как бы «заштриховываем» вертикальными линиями соответствующий участок. Напомним, что каждый отрезок «штриховки» (ордината эпюры) дает в принятом масштабе значение крутящего момента в соответствующем поперечном сечении стержня. Полученную эпюру обводим жирной линией.
Отметим, что в местах приложения внешних скручивающих моментов на эпюре мы получили скачкообразное изменение внутреннего крутящего момента на величину соответствующего внешнего момента.
Определяем диаметр вала из условия прочности
Условие прочности при кручении имеет вид
,
где 
– полярный момент сопротивления (момент сопротивления при кручении).
Наибольший по абсолютному значению крутящий момент возникает на втором участке вала: 
кН·см.
Тогда требуемый диаметр вала определяется по формуле
см.
Округляя полученное значение до стандартного, принимаем диаметр вала равным мм.
Определяем углы закручивания поперечных сечений A, B, C, D и E и строим эпюру углов закручивания
Сначала вычисляем крутильную жесткость стержня , где G – модуль сдвига, а 
– полярный момент инерции. Получим
Углы закручивания на отдельных участках стержня равны:
рад;
рад;
рад;
рад.
Угол закручивания в заделки равен нулю, то есть . Тогда
Эпюра углов закручивания показана на рис. 3.8, в. Отметим, что в пределах длины каждого из участков вала угол закручивания изменяется по линейному закону.
Пример задачи на кручение "круглого" стержня для самостоятельного решения
Условие задачи на кручение "круглого" стержня
Жестко защемленный одним концом стальной стержень (модуль сдвига кН/см2) круглого поперечного сечения скручивается четырьмя моментами (рис. 3.7).
Требуется:
· построить эпюру крутящих моментов;
· при заданном допускаемом касательном напряжении кН/см2 из условия прочности определить диаметр вала, округлив его до ближайшего из следующих значений 30, 35, 40, 45, 50, 60, 70, 80, 90, 100, 200 мм;
· построить эпюру углов закручивания поперечных сечений стержня.
Варианты расчетных схем к задаче на кручение стержня круглого сечения для самостоятельного решения
Пример задачи на кручение круглого стержня – исходные условия для самостоятельного решения
| Номер схемы | ||||||||
|
